Matemática básica Ejemplos

${(1 + z)}^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Usa el teorema del binomio.

$1^{5} + 5 \cdot (1^{4} z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Paso 1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 5 \cdot (1^{4} z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Paso 1.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 5 \cdot (1 z) + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Paso 1.2.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 \cdot (1^{3} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Paso 1.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 5 z + 10 \cdot (1 z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Paso 1.2.5

Multiplica $10$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1^{2} z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Paso 1.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1 z^{3}) + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Paso 1.2.7

Multiplica $10$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 \cdot (1 z^{4}) + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Paso 1.2.8

Multiplica $5$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - {(1 - z)}^{5} = 0$

Paso 1.3

Usa el teorema del binomio.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1^{5} + 5 \cdot (1^{4} (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 \cdot (1^{4} (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 \cdot (1 (- z)) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 + 5 (- z) + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 \cdot (1^{3} {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 \cdot (1 {(- z)}^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.6

Multiplica $10$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 {(- z)}^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.7

Aplica la regla del producto a $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 ({(- 1)}^{2} z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 (1 z^{2}) + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.9

Multiplica $z^{2}$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1^{2} {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 \cdot (1 {(- z)}^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.11

Multiplica $10$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 {(- z)}^{3} + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.12

Aplica la regla del producto a $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 ({(- 1)}^{3} z^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.13

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} + 10 (- z^{3}) + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.14

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 \cdot (1 {(- z)}^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.15

Multiplica $5$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 {(- z)}^{4} + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.16

Aplica la regla del producto a $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 ({(- 1)}^{4} z^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.17

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 (1 z^{4}) + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.18

Multiplica $z^{4}$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} + {(- z)}^{5}) = 0$

Paso 1.4.19

Aplica la regla del producto a $- z$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} + {(- 1)}^{5} z^{5}) = 0$

Paso 1.4.20

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - (1 - 5 z + 10 z^{2} - 10 z^{3} + 5 z^{4} - z^{5}) = 0$

Paso 1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 \cdot 1 - (- 5 z) - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 - (- 5 z) - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Paso 1.6.2

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - (10 z^{2}) - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Paso 1.6.3

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} - (- 10 z^{3}) - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Paso 1.6.4

Multiplica $- 10$ por $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - (5 z^{4}) + z^{5} = 0$

Paso 1.6.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Paso 1.6.6

Multiplica $- - z^{5}$ .

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Paso 1.6.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + 1 z^{5} = 0$

Paso 1.6.6.2

Multiplica $z^{5}$ por $1$ .

$1 + 5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} - 1 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Paso 1.7

Resta $1$ de $1$ .

$5 z + 10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 0 + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Paso 1.8

Suma $5 z$ y $0$ .

$10 z^{2} + 10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z - 10 z^{2} + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Paso 1.9

Resta $10 z^{2}$ de $10 z^{2}$ .

$10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z + 0 + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Paso 1.10

Suma $10 z^{3}$ y $0$ .

$10 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z + 10 z^{3} - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Paso 1.11

Suma $10 z^{3}$ y $10 z^{3}$ .

$20 z^{3} + 5 z^{4} + z^{5} + 5 z + 5 z - 5 z^{4} + z^{5} = 0$

Paso 1.12

Resta $5 z^{4}$ de $5 z^{4}$ .

$20 z^{3} + z^{5} + 5 z + 5 z + 0 + z^{5} = 0$

Paso 1.13

Suma $20 z^{3}$ y $0$ .

$20 z^{3} + z^{5} + 5 z + 5 z + z^{5} = 0$

Paso 1.14

Suma $z^{5}$ y $z^{5}$ .

$20 z^{3} + 2 z^{5} + 5 z + 5 z = 0$

Paso 1.15

Suma $5 z$ y $5 z$ .

$20 z^{3} + 2 z^{5} + 10 z = 0$

Paso 1.16

Reordena los términos.

$2 z^{5} + 20 z^{3} + 10 z = 0$

Paso 1.17

Factoriza $2 z$ de $2 z^{5} + 20 z^{3} + 10 z$ .

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Paso 1.17.1

Factoriza $2 z$ de $2 z^{5}$ .

$2 z (z^{4}) + 20 z^{3} + 10 z = 0$

Paso 1.17.2

Factoriza $2 z$ de $20 z^{3}$ .

$2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2}) + 10 z = 0$

Paso 1.17.3

Factoriza $2 z$ de $10 z$ .

$2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2}) + 2 z (5) = 0$

Paso 1.17.4

Factoriza $2 z$ de $2 z (z^{4}) + 2 z (10 z^{2})$ .

$2 z (z^{4} + 10 z^{2}) + 2 z (5) = 0$

Paso 1.17.5

Factoriza $2 z$ de $2 z (z^{4} + 10 z^{2}) + 2 z (5)$ .

$2 z (z^{4} + 10 z^{2} + 5) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$z = 0$

$z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$

Paso 3

Establece $z$ igual a $0$ .

$z = 0$

Paso 4

Establece $z^{4} + 10 z^{2} + 5$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 4.1

Establece $z^{4} + 10 z^{2} + 5$ igual a $0$ .

$z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$ en $z$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $u = z^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} + 10 u + 5 = 0$

$u = z^{2}$

Paso 4.2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 10$ y $c = 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4

Simplifica.

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Paso 4.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.4.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Paso 4.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.3

Resta $20$ de $100$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.4

Reescribe $80$ como $4^{2} \cdot 5$ .

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Paso 4.2.4.1.4.1

Factoriza $16$ de $80$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Paso 4.2.4.3

Simplifica $\frac{- 10 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 5 \pm 2 \sqrt{5}$

Paso 4.2.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = - 5 + 2 \sqrt{5}, - 5 - 2 \sqrt{5}$

Paso 4.2.6

Sustituye el valor real de $u = z^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$z^{2} = - 0.52786404$

${(z^{2})}^{1} = - 9.47213595$

Paso 4.2.7

Resuelve la primera ecuación para $z$ .

$z^{2} = - 0.52786404$

Paso 4.2.8

Resuelve la ecuación en $z$ .

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Paso 4.2.8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 0.52786404}$

Paso 4.2.8.2

Simplifica $\pm \sqrt{- 0.52786404}$ .

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Paso 4.2.8.2.1

Reescribe $- 0.52786404$ como $- 1 (0.52786404)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (0.52786404)}$

Paso 4.2.8.2.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (0.52786404)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.52786404}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.52786404}$

Paso 4.2.8.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \pm i \sqrt{0.52786404}$

Paso 4.2.8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.8.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$z = i \sqrt{0.52786404}$

Paso 4.2.8.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$z = - i \sqrt{0.52786404}$

Paso 4.2.8.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}$

Paso 4.2.9

Resuelve la segunda ecuación para $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 9.47213595$

Paso 4.2.10

Resuelve la ecuación en $z$ .

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Paso 4.2.10.1

Elimina los paréntesis.

$z^{2} = - 9.47213595$

Paso 4.2.10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 9.47213595}$

Paso 4.2.10.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 9.47213595}$ .

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Paso 4.2.10.3.1

Reescribe $- 9.47213595$ como $- 1 (9.47213595)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (9.47213595)}$

Paso 4.2.10.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (9.47213595)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9.47213595}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9.47213595}$

Paso 4.2.10.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \pm i \sqrt{9.47213595}$

Paso 4.2.10.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.10.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$z = i \sqrt{9.47213595}$

Paso 4.2.10.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$z = - i \sqrt{9.47213595}$

Paso 4.2.10.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$z = i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$

Paso 4.2.11

La solución a $z^{4} + 10 z^{2} + 5 = 0$ es $z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$ .

$z = i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 z (z^{4} + 10 z^{2} + 5) = 0$ verdadera.

$z = 0, i \sqrt{0.52786404}, - i \sqrt{0.52786404}, i \sqrt{9.47213595}, - i \sqrt{9.47213595}$